实数集A满足条件:若a∈A,则11-a∈A(a≠1).求证:①若2∈A,则A中必还有另外两个元素;②集合A不可能是单元素集.
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实数集A满足条件:若a∈A,则11-a∈A(a≠1).求证:①若2∈A,则A中必还有另外两个元素;②集合A不可能是单元素集.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
实数集A满足条件:若a∈A,则
1
1-a
∈A
(a≠1).
求证:①若2∈A,则A中必还有另外两个元素;
②集合A不可能是单元素集.
答案
证明:①若a∈A,则
1
1-a
∈A
.
又∵2∈A,
∴
1
1-2
=-1∈A
∵-1∈A,∴
1
1-(-1)
=
1
2
∈A
.
∵
1
2
∈A
,∴
1
1-
1
2
=2∈A
.
∴A中另外两个元素为-1,
1
2
②若A为单元素集,则
a=
1
1-a
,即a
2
-a+1=0,方程无解.
∴
a≠
1
1-a
,
∴A不可能为单元素集.
举一反三
已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N
*
).对于A的一个子集S,若存在不大于n的正整数m,使得对于S中的任意一对元素s
1
,s
2
,都有|s
1
-s
2
|≠m,则称S具有性质P.
(Ⅰ)当n=10时,试判断集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1,k∈N
*
}是否具有性质P?并说明理由.
(Ⅱ)若n=1000时
①若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P?并说明理由;
②若集合S具有性质P,求集合S中元素个数的最大值.
题型:解答题
难度:一般
|
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下列四个关系:
①0∈{0};②∅⊆{0};③{0,1}⊆{(0,1)};④{(a,b)}={(b,a)}.其中正确的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:单选题
难度:一般
|
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对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=12,a∈N
*
,b∈N
*
}中的元素个数是( )
A.10个
B.15个
C.16个
D.18个
题型:单选题
难度:一般
|
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设A={x|x=a
2
+b
2
,a,b∈Z},求证:
(1)若s,t∈A,则st∈A.
(2)若
s,t∈A,t≠0,则
s
t
=
p
2
+
q
2
,其中p,q是有理数.
题型:解答题
难度:一般
|
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若A={x∈R|ax
2
+x+2=0,a∈R}至多含有一个元素,则a的范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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