设A={x|x=a2+b2,a,b∈Z},求证:(1)若s,t∈A,则st∈A.(2)若s,t∈A,t≠0,则st=p2+q2,其中p,q是有理数.
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设A={x|x=a2+b2,a,b∈Z},求证:(1)若s,t∈A,则st∈A.(2)若s,t∈A,t≠0,则st=p2+q2,其中p,q是有理数.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设A={x|x=a
2
+b
2
,a,b∈Z},求证:
(1)若s,t∈A,则st∈A.
(2)若
s,t∈A,t≠0,则
s
t
=
p
2
+
q
2
,其中p,q是有理数.
答案
(1)设s=a
2
+b
2
,t=c
2
+d
2
,则st=(a
2
+b
2
)(c
2
+d
2
)=a
2
c
2
+a
2
d
2
+b
2
c
2
+b
2
d
2
=(ac+bd)
2
+(ad-bc)
2
所以st∈A.
(2)由(1)得st∈A,所以可设st=m
2
+n
2
,又t≠0,所以
s
t
=
st
t
2
=
m
2
+
n
2
t
2
=(
m
t
)
2
+(
n
t
)
2
,
令
p=
m
t
,
q=
n
t
,则
s
t
=
p
2
+
q
2
,p,q为有理数.
举一反三
若A={x∈R|ax
2
+x+2=0,a∈R}至多含有一个元素,则a的范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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下列集合中,表示方程组
x+y=3
x-y=1
的解集的是( )
A.{2,1}
B.{x=2,y=1}
C.{(2,1)}
D.(1,2)
题型:单选题
难度:简单
|
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用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知集合A的元素全为实数,且满足:若a∈A,则
1+a
1-a
∈A
.
(1)若a=-3,求出A中其它所有元素;
(2)0是不是集合A中的元素?请你设计一个实数a∈A,再求出A中的所有元素?
(3)根据(1)(2),你能得出什么结论.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
集合{x|x
2
-ax-1=0,a∈R}的子集个数是( )
A.4
B.3
C.1
D.与a的取值有关
题型:单选题
难度:简单
|
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