已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N*).对于A的一个子集S,若存在不大于n的正整数m,使得对于S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m,则
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N*).对于A的一个子集S,若存在不大于n的正整数m,使得对于S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m,则称S具有性质P. (Ⅰ)当n=10时,试判断集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1,k∈N*}是否具有性质P?并说明理由. (Ⅱ)若n=1000时 ①若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P?并说明理由; ②若集合S具有性质P,求集合S中元素个数的最大值. |
答案
(Ⅰ)当n=10时,集合A={1,2,3,…,19,20},B={x∈A|x>9}={10,11,12,…,19,20}不具有性质P.(1分) 因为对任意不大于10的正整数m, 都可以找到该集合中两个元素b1=10与b2=10+m,使得|b1-b2|=m成立.(2分) 集合C={x∈A|x=3k-1,k∈N*}具有性质P.(3分) 因为可取m=1<10,对于该集合中任意一对元素c1=3k1-1,c2=3k2-1,k1,k2∈N* 都有|c1-c2|=3|k1-k2|≠1.(4分) (Ⅱ)当n=1000时,则A={1,2,3,…,1999,2000} ①若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P.(5分) 首先因为T={2001-x|x∈S},任取t=2001-x0∈T,其中x0∈S, 因为S⊆A,所以x0∈{1,2,3,…,2000}, 从而1≤2001-x0≤2000,即t∈A,所以T⊆A.(6分) 由S具有性质P,可知存在不大于1000的正整数m, 使得对S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m. 对于上述正整数m, 从集合T={2001-x|x∈S}中任取一对元素t1=2001-x1,t2=2001-x2,其中x1,x2∈S, 则有|t1-t2|=|x1-x2|≠m, 所以集合T={2001-x|x∈S}具有性质P.(8分) ②设集合S有k个元素.由第①问知,若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P. 任给x∈S,1≤x≤2000,则x与2001-x中必有一个不超过1000, 所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000, 不妨设S中有t(t≥)个元素b1,b2,…,bt不超过1000. 由集合S具有性质P,可知存在正整数m≤1000, 使得对S中任意两个元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m, 所以一定有b1+m,b2+m,…,bt+m∉S. 又bi+m≤1000+1000=2000,故b1+m,b2+m,…,bt+m∈A, 即集合A中至少有t个元素不在子集S中, 因此k+≤k+t≤2000,所以k+≤2000,得k≤1333, 当S={1,2,…,665,666,1334,…,1999,2000}时, 取m=667,则易知对集合S中任意两个元素y1,y2, 都有|y1-y2|≠667,即集合S具有性质P, 而此时集合S中有1333个元素. 因此集合S元素个数的最大值是1333.(14分) |
举一反三
下列四个关系: ①0∈{0};②∅⊆{0};③{0,1}⊆{(0,1)};④{(a,b)}={(b,a)}.其中正确的个数为( ) |
对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=12,a∈N*,b∈N*}中的元素个数是( ) |
设A={x|x=a2+b2,a,b∈Z},求证: (1)若s,t∈A,则st∈A. (2)若s,t∈A,t≠0,则=p2+q2,其中p,q是有理数. |
若A={x∈R|ax2+x+2=0,a∈R}至多含有一个元素,则a的范围是______. |
下列集合中,表示方程组的解集的是( )A.{2,1} | B.{x=2,y=1} | C.{(2,1)} | D.(1,2) |
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