定义在[-1,1]上的奇函数f(x)满足f(1)=1,且当a、b∈[-1,1],a+b≠0时,有f(a)+f(b)a+b>0.(1)证明:f(x)是[-1,1]

定义在[-1,1]上的奇函数f(x)满足f(1)=1,且当a、b∈[-1,1],a+b≠0时,有f(a)+f(b)a+b>0.(1)证明:f(x)是[-1,1]

题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在[-1,1]上的奇函数f(x)满足f(1)=1,且当a、b∈[-1,1],a+b≠0时,有
f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)证明:f(x)是[-1,1]上的增函数;
(2)若f(x)≤m2+2am+1对所有的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求m的取值范围.
答案
(1)任取x1、x2∈[-1,1],且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2
f(x1)+f(-x2)
x1+(-x2)
>0

f(x1)+f(-x2)
x1+(-x2)
[x1+(-x2)]
(2分)
∵x1+(-x2)<0,
∴f(x1)-f(x2)<0.
则f(x)是[-1,1]上的增函数. (5分)
(2)要使f(x)≤m2+2am+1对所有的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,
只须f(x)max≤m2+2am+1,即1≤m2+2am+1对任意的a∈[-1,1]恒成立,
亦即m2+2am≥0对任意的a∈[-1,1]恒成立.令g(a)=2ma+m2
只须





g(-1)=-2m+m2≥0
g(1)=2m+m2≥0

解得m≤-2或m≥2或m=0,即为所求.       (12分)
举一反三
设集合M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N⊆M”的______条件.(填充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分又不必要)
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设集合M={x|x=(2k+1)π,k∈Z},N={x|x=(2k-1)π,k∈Z},则M、N之间的关系为(  )
A.MNB.MNC.M∩N=φD.M=N
题型:单选题难度:简单| 查看答案
A={x|
x+1
2-x
>0},B={x|2x+3p<0}
,若A∪B=B,则p的取值范围为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
集合A可以表示为{x,  
y
x
,  1}
,也可以表示为{0,|x|,x+y},则y-x的值为(  )
A.-1B.0C.1D.-1或1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
用C(A)表示非空集合A中元素的个数,定义A*B=





C(A)-C(B) ,C(A)≥C(B)
C(B)-C(A) ,C(A)<C(B)
若A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值构成集合S,则C(S)=(  )
A.4B.1C.2D.3
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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