设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．（Ⅰ）判断函数f(x)=

题型：解答题难度：一般来源：惠州二模

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．
（Ⅰ）判断函数f(x)=

x

2

+

sinx

4

是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x₀∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f"（x₀）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；
（Ⅲ）设x₁是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x₂、x₃，当|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1时，|f（x₃）-f（x₂）|＜2．

答案

（I）因为f′(x)=

1

2

+

1

4

cosx，所以f′(x)∈[

1

4

，

3

4

]满足条件0＜f′(x)＜1，
又因为当x=0时，f（0）=0，
所以方程f（x）-x=0有实数根0．
所以函数f(x)=

x

2

+

sinx

4

是的集合M中的元素．（3分）
（II）假设方程f（x）-x=0存在两个实数根α，β（α≠β），
则f（α）-α=0，f（β）-β=0不妨设α＜β，根据题意存在数c⊆（α，β）
使得等式f（β）-f（α）=（β-α）f"（c）成立．
因为f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，
所以f"（c）=1，
与已知0＜f"（x）＜1矛盾，
所以方程f（x）-x=0只有一个实数根；（8分）
（III）不妨设x₂＜x₃，因为f"（x）＞0，
所以f（x）为增函数，
所以f（x₂）＜f（x₃），
又因为f"（x）-1＜0，
所以函数f（x）-x为减函数，
所以f（x₂）-x₂＞f（x₃）-x₃，
所以0＜f（x₃）-f（x₂）＜x₃-x₂，
即|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|，
所以|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|=|x₃-x₁-（x₂-x₁）|≤|x₃-x₁|+|x₂-x₁|＜2（13分）