若B={x|x2-3x+2＜0}，是否存在实数a，使A={x|x2-（a+a2）x+a3＜0}且A∩B=A？请说明你的理由．

题型：解答题难度：一般来源：不详

若B={x|x²-3x+2＜0}，是否存在实数a，使A={x|x²-（a+a²）x+a³＜0}且A∩B=A？请说明你的理由．

答案

∵B={x|1＜x＜2}，若存在实数a，使A∩B=A，
则A={x|（x-a）（x-a²）＜0}．
（1）若a=a²，即a=0或a=1时，
此时A={x|（x-a）²＜0}=∅，满足A∩B=A，∴a=0或a=1；
（2）若a²＞a，即a＞1或a＜0（舍）时，A={x|a＜x＜a²}，要
使A∩B=A，则

a≥1 a2≤2

⇒1≤a≤

2

，∴1＜a≤

2

；
（3）若a²＜a，即0＜a＜1时，A={x|a²＜x＜a}，
要使A∩B=A，则

a≤2 a2≥1

⇒1≤a≤2，∴a∈∅．
综上所述，当1≤a≤

2

或a=0时满足A∩B=A，
即存在实数a，使A={x|x²-（a+a²）x+a³＜0}且A∩B=A成立．