已知函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”;若f(f(x))=x,则称x为f(x)的“稳定点”.记集合A={x|f(x)=x},B={x|f
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”;若f(f(x))=x,则称x为f(x)的“稳定点”.记集合A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x} (1)已知A≠∅,若f(x)是在R上单调递增函数,是否有A=B?若是,请证明. (2)记|M|表示集合M中元素的个数,问:(i)若函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若|A|=0,则|B|是否等于0?若是,请证明,(ii)若|B|=1,试问:|A|是否一定等于1?若是,请证明. |
答案
(1)证明:有A=B.先证 任取x0∈A,则f(x0)=x0,f(f(x0))=f(x0)=x0, ∴x0∈B,∴A⊆B; 再证 任取y0∈B,f(f(y0))=y0, 若f(y0)≠y0,不妨设f(y0)>y0, 由单调递增可知:f(f(y0))>f(y0)>y0,与f(f(y0))=y0矛盾, 同理f(y0)<y0也矛盾,所以f(y0)=y0,∴B⊆A, 综上,A=B. (2)(i)若|A|=0,则|B|=0,下面证明: 若a>0,由于f(x)=x无实根,则对任意实数x,f(x)>x,从而f(f(x))>f(x)>x, 故f(f(x))=x无实根; 同理,若a<0,对任意实数x,f(x)<x,从而f(f(x))<f(x)<x, 故f(f(x))=x也无实根, 所以|B|=0. (ii)若|B|=1,则|A|=1,下面证明: 存在性:不妨设x0是B中唯一元素,则f(f(x0))=x0, 令f(x0)=t,f(t)=x0,那么f(f(t))=f(x0),而f(x0)=t,故f(f(t))=t,说明t也是f(f(x))的不动点, 由于f(f(x))只有唯一的不动点,故x0=t,即f(t)=t,这说明t也是f(x)的不动点,从而存在性得证; 以下证明唯一性:若f(x)还有另外一个不动点m,即f(m)=m,m≠t, 则f(f(m))=f(m)=m,这说明f(f(x))还有另外一个稳定点m与题设矛盾. 故唯一性得证. |
举一反三
已知集合U={1,2,3,4},A={2,4},B={3,4},则(∁UA)∪B=( )A.{3} | B.{1,3,4} | C.{2,3,4} | D.{1,2,3,4,} |
|
设A={x|-4<x<-},B={x|x≤-4},求A∪B,A∩B,A∪(∁UB). |
已知函数f(x)=的定义域为M,g(x)=log2(1-x)(x≤-1)的值域为N,则∁RM∩N等于( )A.{x|x>1} | B.Ø | C.{y|y≥1或y≤-1} | D.{x|x≥1} |
|
设集合U=R,集合M={x|x>0},N={x|x2≥x},则下列关系中正确的是( )A.M∩N∈M | B.M∪N⊆M | C.(CUM)∪N=Φ | D.(CUN)∩M⊆M |
|
若集合M={x|x=2-t,t∈R},N={y|y=sinx,x∈R},则M∩N=( )A.(0,1] | B.[-1,0) | C.[-1,1] | D.∅ |
|
最新试题
热门考点