已知函数F(x)=1a-1x,x>0,a>0.(1)讨论f(x)在定义域上的单调性,并给予证明;(2)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],(0<m<n)
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已知函数F(x)=1a-1x,x>0,a>0.(1)讨论f(x)在定义域上的单调性,并给予证明;(2)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],(0<m<n)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数F(x)=
1
a
-
1
x
,x>0,a>0.
(1)讨论f(x)在定义域上的单调性,并给予证明;
(2)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],(0<m<n),求a的取值范围和相应的m,n的值.
答案
(1)f(x)在定义域上单调递增.证明如下
任取x
1
>x
2
>0,
则
f(
x
1
)-f(
x
2
)=(
1
a
-
1
x
1
)-(
1
a
-
1
x
2
)
=
1
x
2
-
1
x
1
=
x
1
-
x
2
x
1
x
2
.
∵x
1
>x
2
>0,∴x
1
-x
2
>0,x
1
x
2
>0.
∴
x
1
-
x
2
x
1
x
2
>0
.
∴f(x
1
)>f(x
2
).
∴f(x)在定义域上单调递增.
(2)由(1)知f(x)在[m,n]上单调递增,
则f(x)在[m,n]上的值域是[f(m),f(n)].
即
f(m)=
1
a
-
1
m
=m
,
f(n)=
1
a
-
1
n
=n
.
∴m,n为方程ax
2
-x+a=0的两实根,
∴△=1-4a
2
>0,
∴
-
1
2
<a<
1
2
,又a>0,可得
a∈(0,
1
2
)
.
则
m=
1-
1-4
a
2
2a
,
n=
1+
1-4
a
2
2a
.
举一反三
函数y=
cosx-
1
2
的定义域为( )
A.[-
π
3
,
π
3
]
B.[kπ-
π
3
,kπ+
π
3
],k∈Z
C.[2kπ-
π
3
,2kπ+
π
3
],k∈Z
D.R
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
(1)计算:[81
-0.25
+(
3
3
8
)
1
3
]
1
2
+
1
2
lg4
-lg
1
5
;
(2)求f(x)=
lo
g
1
2
(x-3)
|2x-7|
的定义域.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数:f(x)=
x+1-a
a-x
(a∈R且x≠a).
(1)证明:f(x)+f(2a-x)+2=0对定义域内的所有x都成立;
(2)当f(x)的定义域为[a+
1
2
,a+1]时,求证:f(x)的值域为[-3,-2];
(3)若a>
1
2
,函数g(x)=x
2
+|(x-a) f(x)|,求g(x)的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
设函数f(x)=
x+
1
2
,x∈[0,
1
2
)
2(1-x),x∈[
1
2
,1]
若f[f(a)]
∈[0,
1
2
]
,则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
奇函数
f(x)=
1-
x
2
+
1
x-a
(其中常数a∈R)的定义域为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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