定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x<0时,f(x)<1.(I)证明f(x)在R上是增函数;(II)若f(

定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x<0时,f(x)<1.(I)证明f(x)在R上是增函数;(II)若f(

题型:解答题难度:一般来源:安徽模拟
定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x<0时,f(x)<1.
(I)证明f(x)在R上是增函数;
(II)若f(3)=4,求函数f(x)在[1,3]上的值域.
答案
证明:(I)设x1、x2∈R,且x1<x2
f (x1)-f (x2)=f[x2+(x1-x2)]-f (x2
=f (x1-x2)+f (x2)-1-f (x2)=f (x1-x2)-1,
∵x1<x2,∴x1-x2<0,
∵当x<0时,f(x)<1
∴f (x1)-f (x2)=f (x1-x2)-1<0,
即f (x1)<f (x2),
∴f (x)在R上是增函数;
(II)∵f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=3f(1)-2=4,
∴f(1)=2
∵f (x)在R上是增函数
∴函数f(x)在[1,3]上的值域为[2,4].
举一反三
函数y=


5+4x-x2
的值域是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若f(2x+1)的定义域为[1,4],则f(x+3)的定义域为(  )
A.[0,
3
2
]
B.[0,6]C.[
1
2
3
2
]
D.[3,
9
2
]
题型:单选题难度:简单| 查看答案
下列函数中,与函数y=
1


x
有相同定义域的是 ______.①f(x)=ln x ②f(x)=
1
x
③f(x)=|x|④f(x)=ex
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知定义在[-1,1]上的函数y=f(x)的值域为[-2,0],则函数y=f(cos2x)的值域为(  )
A.[-1,1]B.[-3,-1]C.[-2,0]D.不能确定
题型:单选题难度:简单| 查看答案
(1)f(x)=





sinxπ,(x<0)
f(x-1)-
1
2
,(x≥0)
,求f(-
1
3
)-f(
3
4
)的值.
(2)已知A(-3,-4),B(-5,3),C(-6,5),计算4


AB
-3


BC
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