已知函数f（x）=2x4x+1．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求证f（x）在[0，+∞）上是减函数；（3）求f（x）的最大值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=

2x

4x+1

．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求证f（x）在[0，+∞）上是减函数；
（3）求f（x）的最大值．

答案

（1）∵f（x）=

2x

4x+1

，∴x∈R，
∵f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

1+4x

=f（x），
∴函数f（x）=

2x

4x+1

是偶函数．
（2）在[0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂．
f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1•4x2+2x1-2x2•4x1-2x2

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x1+2x2-22x1+x2)+(2x1-2x2)

(4x1+1)(4x2+1)

，
∵0≤x₁＜x₂．
∴

(2x1+2x2-22x1+x2)+(2x1-2x2)

(4x1+1)(4x2+1)

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．
（3）∵f（x）在[0，+∞）上是减函数，f（x）是偶函数，
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，
∴f（x）_max=f（0）=

1

2

．