某商品在100天内的销售单价f（t）与时间t（t∈N）的函数关系是f(t)=14t+22(0≤t＜40)-12t+52(40≤t≤100)销售量g（t）与时间t

题型：解答题难度：一般来源：不详

某商品在100天内的销售单价f（t）与时间t（t∈N）的函数关系是f(t)=

1 4 t+22(0≤t＜40) - 1 2 t+52(40≤t≤100)

销售量g（t）与时间t（t∈N）的函数关系是g(t)=-

1

3

t+

109

3

(0≤t≤100)，求这种商品日销售额S（t）的最大值．

答案

由已知销售价f(t)=

1 4 t+22(0≤t＜40) - 1 2 t+52(40≤t≤100)

，销售量g(t)=-

1

3

t+

109

3

(0≤t≤100)
∴日销售额为S（t）=f（t）g（t），即当0≤t＜40时，S(t)=(

1

4

t+22)(-

1

3

t+

109

3

)=-

1

12

t2+

7

4

t+

2398

3

此函数的对称轴为x=

21

2

，又t∈N，最大值为S(10)=S(11)=

1617

2

；当40≤t≤100时，S(t)=(-

1

2

t+52)(-

1

3

t+

109

3

)=

1

6

t2-

213

6

t+

265

3

，此时函数的对称轴为x=

213

2

＞100，最大值为S（100）=6．
综上，这种商品日销售额S（t）的最大值为

1617

2

，此时t=10或t=11．