已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=lg(1-x).(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;(2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性,并说明理由;(3)

已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=lg(1-x).(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;(2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性,并说明理由;(3)

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=lg(1-x).
(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)判断函数f(x)-g(x)在定义域上的单调性,并证明你的结论.
答案
(1)由x+1>0且1-x>0,得-1<x<1,因此函数定义域为{x|-1<x<1};
(2)设F(x)=f(x)-g(x),则F(-x)=f(-x)-g(-x)=lg(-x+1)-lg(1+x)=-F(x),
∴F(x)=f(x)-g(x)是奇函数;
(3)函数f(x)-g(x)在定义域上为增函数.
设f(x)-g(x)=lg
x+1
1-x
,令h(x)=
x+1
1-x

设-1<x1<x2<1,则h(x1)-h(x2)=
x1+1
1-x1
-
x2+1
1-x2
=
2(x1-x2)
(1-x1)(1-x2)

∵-1<x1<x2<1,∴
2(x1-x2)
(1-x1)(1-x2)
<0,∴h(x1)-h(x2)<0,
∴h(x) 在(-1,1)上为增函数,
∴f(x)-g(x)在(-1,1)上为增函数.
举一反三
若loga6•log67•log78=-3,设函数f(x)=-a2x+4ax+5
(1)求a的值;
(2)当x≥-2时,求函数f(x)的值域;
(3)当x∈R时,求函数f(x)的单调递增区间.
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已知函数y=2(x+r)•


r2-x2
,(r>0)
,则其定义域为______;最大值为______.
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已知函数f(x)=







x
-1,x≥1
1-


x
,0≤x<1

(1)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求


a
+


b
的值;
(2)是否存在[a,b]⊆[1,+∞),使得f(x)在[a,b]上的值域为[ma,mb](m≠0)?如果存在,请求出m的取值范围;反之,请说明理由.
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函数y=x+1+


2-x
的值域______.
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已知实数m使x2-4mx+2m+30>0对一切x∈R成立,
(1)求实数m的范围D;
(2)求f(m)=(m+3)(1+|m-1|)(m∈D)的值域.
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