已知函数f（x）=2a•4x-2x-1（1）当a=1时，解不等式f（x）＞0；（2）当a=12，x∈[0，2]时，求f（x）的值域．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=2a•4^x-2^x-1
（1）当a=1时，解不等式f（x）＞0；
（2）当a=

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，x∈[0，2]时，求f（x）的值域．

答案

（1）当a=1时，f（x）=2•4^x-2^x-1
∴f（x）＞0，即2•（2^x）²-2^x-1＞0
解得2^x＞1，或2^x＜-

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2

（舍去）
∴x＞0
即不等式f（x）＞0的解集为（0，+∞）
（2）当a=

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2

时，f（x）=4^x-2^x-1
设t=2^x，由x∈[0，2]得t∈[1，4]
此时，y=t²-t-1，t∈[1，4]
∵y=t²-t-1的图象是开口朝上，且以t=

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2

为对称轴的抛物线
∴y=t²-t-1在区间[1，4]上为增函数
∴当t=1时，函数取最小值-1，当t=4时，函数取最大值11，
故f（x）的值域为[-1，11]