已知函数f(x)=a•2x+a-22x+1是奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）求函数的值域．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）求函数的值域．

答案

（1）f（x）的定义域为R，且为奇函数，∴f（0）=0，
∴a=1
（2）由（1）知f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，所以f（x）为增函数
证明：任取x₁＜x₂∈R
f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-1+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1) (2x2+1)

∵x₁＜x₂∈R∴2x1＜2x2
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）为R上的增函数．
（3）令y=

2x-1

2x+1

则2x=

-1-y

y-1

而2^x＞0∴2x=

-1-y

y-1

＞0
∴-1＜y＜1
所以函数f（x）的值域为（-1，1）