已知函数f(x)=2x+12x-1(1)求f(x)的定义域和值域;(2)讨论f(x)的奇偶性并证明;(3)判断f(x)在(0,+∞)的单调性并证明.
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已知函数f(x)=2x+12x-1(1)求f(x)的定义域和值域;(2)讨论f(x)的奇偶性并证明;(3)判断f(x)在(0,+∞)的单调性并证明.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
2
x
+1
2
x
-1
(1)求f(x)的定义域和值域;
(2)讨论f(x)的奇偶性并证明;
(3)判断f(x)在(0,+∞)的单调性并证明.
答案
(1)令分母2
x
-1≠0解得x≠0,故定义域为{x|x≠0}
函数的解析式可以变为
f(x)=1+
2
2
x
-1
,由于2
x
-1>-1,故
1
2
x
-1
<-1或
1
2
x
-1
>0
故
2
2
x
-1
>0或
2
2
x
-1
<-2,
∴
f(x)=
2
x
+1
2
x
-1
的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞)
(2)函数是一个奇函数,证明如下
f(-x)=
2
-x
+1
2
-x
-1
=
2
x
+1
1-2
x
= -
2
x
+1
2
x
-1
=-f(x)
,故是一个奇函数.
(3)f(x)在(0,+∞)是一个减函数,证明如下
由于
f(x)=1+
2
2
x
-1
,在(0,+∞)上,2
x
-1递增且函数值大于0,
2
2
x
-1
在(0,+∞)上是减函数,故
f(x)=1+
2
2
x
-1
在(0,+∞)上是减函数
举一反三
y=
3x+2
+
1
x-2
的定义域为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数
f(x)=
2x+1
x-1
的值域是______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
若函数f
A
(x)的定义域为
A=[a,b),且
f
A
(x)=(
x
a
+
b
x
-1
)
2
-
2b
a
+1
,其中a、b为任意正实数,且a<b.
(1)当A=[4,7)时,研究f
A
(x)的单调性(不必证明);
(2)写出f
A
(x)的单调区间(不必证明),并求函数f
A
(x)的最小值、最大值;
(3)若x
1
∈I
k
=[k
2
,(k+1)
2
),x
2
∈I
k+1
=[(k+1)
2
,(k+2)
2
),其中k是正整数,对一切正整数k不等式
f
I
k
(
x
1
)+
f
I
k+1
(
x
2
)<m
都有解,求m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知一个函数的解析式为y=2x+1,它的值域是1,4,则函数的定义域为 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
求函数
f(x)=x+
2x-1
的值域.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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