若函数fA(x)的定义域为A=[a,b),且fA(x)=(xa+bx-1)2-2ba+1,其中a、b为任意正实数,且a<b.(1)当A=[4,7)时,研究fA(
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若函数fA(x)的定义域为A=[a,b),且fA(x)=(xa+bx-1)2-2ba+1,其中a、b为任意正实数,且a<b.(1)当A=[4,7)时,研究fA(
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
若函数f
A
(x)的定义域为
A=[a,b),且
f
A
(x)=(
x
a
+
b
x
-1
)
2
-
2b
a
+1
,其中a、b为任意正实数,且a<b.
(1)当A=[4,7)时,研究f
A
(x)的单调性(不必证明);
(2)写出f
A
(x)的单调区间(不必证明),并求函数f
A
(x)的最小值、最大值;
(3)若x
1
∈I
k
=[k
2
,(k+1)
2
),x
2
∈I
k+1
=[(k+1)
2
,(k+2)
2
),其中k是正整数,对一切正整数k不等式
f
I
k
(
x
1
)+
f
I
k+1
(
x
2
)<m
都有解,求m的取值范围.
答案
(1)当
A=[1,4)时,
f
A
=(x+
4
x
-1
)
2
-7
…(2分)
∵
x+
4
x
∈[4,5]
,∴当x∈[1,2]时f
A
(x)是减函数,当x∈[2,4)时f
A
(x)是增函数 …(4分)
(2)
f
A
(x)=(
x
a
+
b
x
-1
)
2
-
2b
a
+1在x∈[a,
ab
]上
f
A
是减函数;在
x∈[
ab
,b)
上f
A
是增函数.
∴当
x=
ab
时
f
A
(x)
有最小值为
(2
b
a
-1
)
2
-
2b
a
+1=
2b
a
-4
b
a
+2=2(
b
a
-1
)
2
…(8分)
当x=a时f
A
(x)有最大值为
(
b
a
)
2
-
2b
a
+1=
b
2
a
2
-
4b
a
+1=(
b
a
-1
)
2
…(10分)
(3)当A=I
k
时
f
I
k
(x)
最小值为
f
I
k
(k(k+1))=
2
k
2
当A=I
k+1
时
f
I
k+1
(x)
最小值为
f
I
k+1
((k+1)(k+2))=
2
(k+1)
2
…(12分)
∴
m>
2
k
2
+
2
(k+1)
2
(k∈N*)…(14分)
设
t=
2
k
2
+
2
(k+1)
2
,(k∈N*)
,则
t
max
=
5
2
,∴
m>
5
2
…(16分)
举一反三
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题型:填空题
难度:一般
|
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求函数
f(x)=x+
2x-1
的值域.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(x
2
)的定义域为[-1,1],则f(2
x
)的定义域为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数
f(x)=
9-x
+
(x-1)
0
x+4
定义域为
______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数
f(x)=1-3
x
2
-4
(x≥2)
的值域是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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