（1）已知函数f(x)=xm-4x，且f（4）=3．判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明；（2）已知函数y=lg（-x2+4x-3）的定义域为M，求

题型：解答题难度：一般来源：不详

（1）已知函数f(x)=xm-

4

x

，且f（4）=3．判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明；
（2）已知函数y=lg（-x²+4x-3）的定义域为M，求函数f（x）=4^x-2^x+3+4（x∈M）的值域．

答案

（1）∵f（4）=3，∴4^m-1=3，解得，m=1，∴f(x)=x-

4

x

，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=
x1-

4

x1

-x2+

4

x2

=（x₁-x₂）（1+

4

x1x2

）
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，1+

4

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
故函数f(x)=x-

4

x

在（0，+∞）上为增函数．
（2）由-x²+4x-3＞0得，x^2-4x+3＜0，解得1＜x＜3，即，
M={x|1＜x＜3}，又f（x）=4^x-2^x+3+4=（2^x）²-8×2^x+4
令t=2^x，∵x∈（1，3），∴t∈（2，8）
f（x）=g（t）=t²-8t+4   t∈（2，8）
由配方得，g（t）=（t-4）²-12   t∈（2，8）
∴f（x）_min=g（4）=-12  又g（8）=4
故函数f（x）的值域为[-12，4）