函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-x2,(Ⅰ)求x<0时,f(x)的解析式;(Ⅱ)问是否存在这样的正数a,b,当x∈[a,b]时
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函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-x2,(Ⅰ)求x<0时,f(x)的解析式;(Ⅱ)问是否存在这样的正数a,b,当x∈[a,b]时
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-x
2
,
(Ⅰ)求x<0时,f(x)的解析式;
(Ⅱ)问是否存在这样的正数a,b,当x∈[a,b]时,f(x)的值域为
[
1
b
,
1
a
]
?若存在,求出所有的a,b的值;若不存在说明理由.
答案
(Ⅰ)任取x<0,得-x>0,故有f(-x)=-2x-x
2
又函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,有f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-2x-x
2
∴x<0时,f(x)=2x+x
2
;
(Ⅱ)∵当x>0时,f(x)=-(x-1)
2
+1≤1,
若存在这样的正数a,b,则当
x∈[a,b]时,[f(x)
]
max
=
1
a
≤1⇒a≥1
,
∴f(x)在[a,b]内单调递减,
∴
1
b
=f(b)=-
b
2
+2b
1
a
=f(a)=-
a
2
+2a
⇒a,b是方程x
3
-2x
2
+1=0的两正根,
∵x
3
-2x
2
+1=(x-1)(x
2
-x-1)=0,
∴
x
1
=1,
x
2
=
1+
5
2
,
∴
a=1,b=
1+
5
2
.
举一反三
已知函数
f(x)=
x+3
+
1
x+2
,
(1)求函数的定义域;
(2)求
f(-3),f(
2
3
)
的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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(1)化简:
tan(2π-α)sin(-2π-α)cos(6π-α)
sin(α+
3π
2
)cos(α+
3π
2
)tan(-α)
;
(2)求定义域:y=lg(3-4sin
2
x)
题型:解答题
难度:一般
|
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设函数f(x)=lo
g
2
(
x
2
+bx+c),且f(1)=2,f(3)=3
.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若x≥3求f(x)的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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(1)求函数y=
x+1
+
(x+1)
0
2-x
的定义域.
(2)若函数f(x)的定义域是[-1,1],求函数f(x+1)的定义域.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数y=
x
2
+x+1
的定义域是______,值域为______.
题型:填空题
难度:简单
|
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