设函数f(x)=1x-1-1．（Ⅰ） 求函数f（x）的定义域和值域；（Ⅱ） 证明函数f（x）在（1，+∞）上为减函数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f(x)=

1

x-1

-1．
（Ⅰ） 求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ） 证明函数f（x）在（1，+∞）上为减函数．

答案

（Ⅰ）令分母x-1≠0解得x≠1，故定义域为{x|x≠1}
∵f(x)=

1

x-1

-1，由于x-1≠0，
故

1

x -1

≠0
故

1

x -1

-1≠-1，
∴f(x)=

1

x-1

-1的值域是（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（Ⅱ）证明：在（1，+∞）上任取两个值x₁，x₂且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=（

1

x1-1

-1）-（

1

x2-1

-1）
=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

∵1＜x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在（1，+∞）上是减函数．