已知偶函数f （x），对任意x1，x2∈R，恒有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2x1x2+1，求（1）f （0）的值；（2）f （x）的表达式；（3

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知偶函数f （x），对任意x₁，x₂∈R，恒有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2x₁x₂+1，求
（1）f （0）的值；
（2）f （x）的表达式；
（3）令F(x)=a[f(x)]2-2f(x) (a＞0且a≠1)，求F（x）在（0，+∞）上的最值．

答案

（1）令x₁=x₂=0，则有f（0）=f（0）+f（0）+1，故f（0）=-1
（2）令x₁=x，x₂=-x，则有f（x-x）=f（x）+f（-x）-2x²+1=-1
又∵f（x）为偶函数，故f（x）=f（-x），代入上式可得：f（x）=x²-1
（3）∵f（x）=x²-1，
∴F(x)=a(x2-1)2-2(x2-1)=ax4-4x2+3=a(x2-2)2-1，
∵（x²-2）²-1≥-1，
∴当a＞1时，F （x）的最小值为

1

a

，最大值不存在
当0＜a＜1时，F （x）的最大值为

1

a

，最小值不存在