已知函数f(x)=|x|x+2(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并加以证明;(2)求函数f(x)的值域;(3)如果关于x的方程f(x)=kx3有
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已知函数f(x)=|x|x+2(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并加以证明;(2)求函数f(x)的值域;(3)如果关于x的方程f(x)=kx3有
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
|x|
x+2
(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并加以证明;
(2)求函数f(x)的值域;
(3)如果关于x的方程f(x)=kx
3
有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.
答案
(1)设0<x
1
<x
2
,
f(x
1
)-f(x
2
)=
2(
x
2
-
x
1
)
(
x
2
+2)(
x
1
+2)
>0,
∴f(x)在(0,+∞)单调递增.
(2)当x≥0时,f(x)=
x
x+2
>0
,
又,
∴
x
x+2
<1
,即0≤f(x)<1;
当x<0(x≠-2)时,f(x)=
-x
x+2
=y
,
∴
x=
-2y
y+1
,由x<0,得
y<-1或y>0.
∴f(x)的值域为(-∞,-1)∪[0,+∞).
(3)当x=0时,f(x)=kx
3
,
∴x=0为方程的解.
当x>0时,
x
x+2
=k
x
3
,∴kx
2
(x+2)=1,∴
x
2
(x+2)=
1
k
,
当x<0时,
-x
x+2
=k
x
3
,∴kx
2
(x+2)=-1,∴
-
x
2
(x+2)=
1
k
,
即看函数g(x)=
x
2
(x+2),(x>0)
-
x
2
(x+2),(x<0,x≠
-2)
与函数h(x)=
1
k
图象有两个交点时k的取值范围,应用导数画出g(x)的大致图象,
∴
1
k
>-
32
27
,
∴k<
-
27
32
或k>0
.
举一反三
对于偶函数f(x)=mx
2
+(m+1)x+2,x∈[-2,2],其值域为______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知函数f(x)=log
a
x+b
x-b
(a>0,b>0,a≠1).
(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)讨论f(x)的单调性.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
设函数
f(x)=
1+x
1-x
e
-ax
(1)写出定义域及f′(x)的解析式
(2)设a>0,讨论函数y=f(x)的单调性;
(3)若对任意x∈(0,1),恒有f(x)>1成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
函数
f(x)=lo
g
1
2
(x-1)
+
2-x
的定义域为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数y=
9-
x
2
x-2
的定义域是( )
A.(-3,2)∪(2,3)
B.[-3,2)∪(2,3]
C.[-3,3]
D.(-3,3)
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
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