定义函数f(x)=sinx,sinx≥cosxcosx,sinx<cosx,给出下列四个命题:(1)该函数的值域为[-1,1];(2)当且仅当x=2kπ+π2(
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定义函数f(x)=sinx,sinx≥cosxcosx,sinx<cosx,给出下列四个命题:(1)该函数的值域为[-1,1];(2)当且仅当x=2kπ+π2(
题型:填空题
难度:一般
来源:不详
定义函数f(x)=
sinx,sinx≥cosx
cosx,sinx<cosx
,给出下列四个命题:
(1)该函数的值域为[-1,1];
(2)当且仅当x=2kπ+
π
2
(k∈Z)时,该函数取得最大值;
(3)该函数是以π为最小正周期的周期函数;
(4)当且仅当2kπ+π<x<2kπ+
3π
2
(k∈Z)时,f(x)<0.上述命题中正确的个数是______.
答案
∵sinx≥cosx,∴
π
4
+2kπ≤x≤
5π
4
+2kπ
∵sinx<cosx,∴-
3π
4
+2kπ<x<
π
4
+2kπ
∴f(x)=
sinx [
π
4
+2kπ
5π
4
+2kπ]
cosx (-
3π
4
+2kπ
π
4
+2kπ)
,∴f(x)的值域为[-
2
2
,1]
当x=
π
2
+2kπ或x=2kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值为1.
∵f(x+π)=
-sinx
-cosx
≠f(x)
∴f(x)不是以π为最小正周期的周期函数,
当f(x)<0时,2kπ+π<x<2kπ+
3π
2
(k∈Z)
综上所述,正确的个数是1个,
故答案为1个.
举一反三
若f(x-1)的定义域为[1,2],则f(x+2)的定义域为______.
题型:填空题
难度:一般
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已知函数f(x)=x
3
+bx
2
+cx的导函数的图象关于直线x=2对称.
(1)求b的值;
(2)若f(x)在x=t处取得极小值,记此极小值为g(t),求g(t)的定义域和值域.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
f(x)=
x-3
+lg(4-x)
的定义域为______.
题型:填空题
难度:一般
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已知二次函数f(x)=x
2
-16x+p+3.
(1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数p的取值范围;
(2)问是否存在常数q(q≥0),当x∈[q,10]时,f(x)的值域为区间D,且D的长度为12-q.(注:区间[a,b](a<b)的长度为b-a).
题型:解答题
难度:一般
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设x>0,y>0且(x-1)(y-1)=2,若x+y≥k恒成立,则实数k的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
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