已知二次函数f(x)=x2-16x+p+3.(1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数p的取值范围;(2)问是否存在常数q(q≥0),当x∈[q,10]时

已知二次函数f(x)=x2-16x+p+3.(1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数p的取值范围;(2)问是否存在常数q(q≥0),当x∈[q,10]时

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=x2-16x+p+3.
(1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数p的取值范围;
(2)问是否存在常数q(q≥0),当x∈[q,10]时,f(x)的值域为区间D,且D的长度为12-q.(注:区间[a,b](a<b)的长度为b-a).
答案
(1)∵二次函数f(x)=x2-16x+p+3的对称轴是x=8,
∴函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,
则函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点须满足f(-1)•f(1)≤0.
即(1+16+p+3)(1-16+p+3)≤0,解得-20≤p≤12.
(2)假设存在常数q(q≥0)满足题意,分三种情况求
①当





q<8
8-q≥10-8
q≥0
时,即0≤q≤6时,
当x=8时,取到最小值f(8);当x=q时,取到最大值f(q),
∴f(x)的值域为:[f(8),f(q)],即[p-61,q2-16q+p+3].
∴区间长度为q2-16q+p+3-(p-61)=q2-16q+64=12-q.
∴q2-15q+52=0,∴q=
15±


17
2
,经检验q=
15+


17
2
不合题意,舍去,故q=
15-


17
2

②当





q<8
8-q<10-8
q≥0
时,即6≤q<8时,
当x=8时,取到最小值f(8);当x=10时,取到最大值f(10),
∴f(x)的值域为:[f(8),f(10)],即[p-61,p-57]
∴区间长度为p-57-(p-61)=4=12-q,∴q=8.经检验q=8不合题意,舍去.
③当q≥8时,函数f(x)在[q,10]上单调递增,
∴f(x)的值域为:[f(q),f(10)],即[q2-16q+p+3,p-57].
∴区间长度为p-57-(q2-16q+p+3)=-q2-16q-60=12-q,
∴q2-17q+72=0,∴q=8或q=9.经检验q=8或q=9满足题意.
综上知,存在常数q=8或q=9,q=
15-


17
2

当x∈[q,10]时,f(x)的值域为区间D,且D的长度为12-q.
举一反三
设x>0,y>0且(x-1)(y-1)=2,若x+y≥k恒成立,则实数k的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数y=x2+2x,x∈[-2,3],则值域为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=
1


mx2+mx+1
的定义域是R,则实数m的取值范围是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
求下列函数的定义域和值域:
(1)y=
3x
4x-1
;        
 (2)y=
1
x2-2x-3
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=





4-x2,   x>0
2,          x=0
1-2x    ,x<0

(Ⅰ)求f[f(-2)]的值;
(Ⅱ)求f(a2+1)(a∈R)的值;
(Ⅲ)当-4≤x<3时,求函数f(x)的值域.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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