已知函数f(x)=1+ax2x+b(a≠0)是奇函数,并且函数f(x)的图象经过点(1,3),(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的值域
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已知函数f(x)=1+ax2x+b(a≠0)是奇函数,并且函数f(x)的图象经过点(1,3),(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的值域
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
1+a
x
2
x+b
(a≠0)是奇函数,并且函数f(x)的图象经过点(1,3),
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)的值域
答案
(1)∵函数
f(x)=
1+a
x
2
x+b
是奇函数,则f(-x)=-f(x)
∴
1+a
(-x)
2
-x+b
=-
1+a
x
2
x+b
,
∵a≠0,∴-x+b=-x-b,∴b=0(3分)
又函数f(x)的图象经过点(1,3),
∴f(1)=3,∴
1+a
1+b
=3
,∵b=0,
∴a=2(6分)
(2)由(1)知
f(x)=
1+2
x
2
x
=2x+
1
x
(x≠0)
(7分)
当x>0时,
2x+
1
x
≥2
2x•
1
x
=2
2
,当且仅当
2x=
1
x
,
即
x=
2
2
时取等号(10分)
当x<0时,
(-2x)+
1
-x
≥2
(-2x)•
1
-x
=2
2
,∴
2x+
1
x
≤-2
2
当且仅当
(-2x)=
1
-x
,即
x=-
2
2
时取等号(13分)
综上可知函数f(x)的值域为
(-∞,-2
2
]∪[2
2
,+∞)
(12分)
举一反三
已知球O
l
、O
2
的半径分别为l、r,体积分别为V
1
、V
2
,表面积分别为S
1
、S
2
,当r∈(1,+∞)时,
V
2
-
V
1
S
2
-
S
1
的取值范围是______.
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难度:一般
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2
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ab
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难度:简单
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函数
f(x)=lg(cosx-
1
2
)+
sinx
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题型:填空题
难度:一般
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函数y=
(x-1
)
0
|x|-x
的定义域是 ______.
题型:填空题
难度:一般
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