已知函数f(x)=2x-12x+1.(1)判断f(x)的奇偶性,并加以证明;(2)判断f(x)的单调性,并加以证明;(3)求f(x)的值域;(4)解不等式f(x
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已知函数f(x)=2x-12x+1.(1)判断f(x)的奇偶性,并加以证明;(2)判断f(x)的单调性,并加以证明;(3)求f(x)的值域;(4)解不等式f(x
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
2
x
-1
2
x
+1
.
(1)判断f(x)的奇偶性,并加以证明;
(2)判断f(x)的单调性,并加以证明;
(3)求f(x)的值域;
(4)解不等式
f(x)>
7
9
.
答案
(1)f(x)为奇函数.
因为f(x)的定义域为R,对∀x∈R
∵
f(-x)=
2
-x
-1
2
-x
+1
=
1-
2
x
1+
2
x
=-
2
x
-1
2
x
+1
=-f(x)
,
∴f(x)为奇函数.
(2)f(x)是(-∞,+∞)上的增函数.
∵对-∞<x
1
<x
2
<+∞,
2
x
1
-
2
x
2
<0
,
f(x)=
2
x
-1
2
x
+1
=1-
2
2
x
+1
又
f(
x
1
)-f(
x
2
)=(1-
2
2
x
1
+1
)-(1-
2
2
x
2
+1
)=
2
2
x
2
+1
-
2
2
x
1
+1
=
2(
2
x
1
-
2
x
2
)
(
2
x
1
+1
)(
2
x
2
+1)
<0
;
∴f(x)是(-∞,+∞)上的增函数.
(3)∵
f(x)=
2
x
-1
2
x
+1
=1-
2
2
x
+1
,
又f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,
∴f(x)∈(-1,1).
(4)∵
f(3)=
7
9
;
又∵
f(x)>
7
9
即为f(x)>f(3);
又f(x)是(-∞,+∞)上的增函数;
∴不等式
f(x)>
7
9
的解集为{x|x>3}
举一反三
已知函数f(x)=log
a
(x
2
+1)(a>1).
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)求函数f(x)的值域.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x)=log
a
(1-x)+log
a
(x+3),(0<a<1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的最小值为-2,求a的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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下列函数值域是(0,+∞)的是( )
A.y=x
2
-x+1
B.y=log
2
x
C.
y=(
1
2
)
x
D.
y=
x
1
2
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=(
1
3
)
x
,函数
g(x)=lo
g
1
3
x
.
(1)若函数y=g(mx
2
+2x+m)的值域为R,求实数m的取值范围;
(2)当x∈[-1,1]时,求函数y=[f(x)]
2
-2af(x)+3的最小值h(a);
(3)是否存在非负实数m,n,使得函数y=g[f(x
2
)]的定义域为[m,n],值域为[2m,2n],若存在,求出m,n的值;若不存在,则说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
y=
log
2
x-2
的定义域是 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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