(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数∴f(0)=0(1分) 又∵x>0时,f(x)=x2-x3 ∴当x<0时-x>0f(x)=-f(-x)=-(x2+x3) ∴f(x)=(3分)
(2)由(1)知当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-x3,∴f"(x)=-2x-x2(4分) 令f"(x)=0得x=-2或x=0 当x∈(-∞,-2)时,f"(x)<0,f(x)是减函数 当x∈(-2,0)时,f"(x)>0,f(x)是增函数 ∴f(x)在区间(-∞,-2)上是减函,数在(-2,0)上是增函数.(7分)
(3)∵当x>0时,f(x)=x2-x3 ∴g(x)=f"(x)=2x-x2=-(x-1)2+1 又∵a>1 ∴g(x)在区间[,a]上,当x=1时g(x)取得最大值1. 当1<a≤时,g(x)min=g()=,由=得a=∈(1,] 当a>时,g(x)min=g(a)=2a-a2 由2a-a2=得a=或a=∉(,+∞)或a=1∉(,+∞) ∴所求的a的值为a=或a=(12分) |