已知函数f(x)=x|x2-3|,x∈[0,m]其中m∈R,且m>0.(1)若m<1,求证:函数f(x)是增函数.(2)如果函数f(x)的值域是[0,2],试求
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x|x2-3|,x∈[0,m]其中m∈R,且m>0. (1)若m<1,求证:函数f(x)是增函数. (2)如果函数f(x)的值域是[0,2],试求m的取值范围. (3)若m≥1,试求函数f(x)的值域. |
答案
证明:(1)当m<1时,f(x)=x(3-x2)=3x-x3. 因为f′(x)=3-3x2=3(1-x2)>0. 所以f(x)是增函数. (2)令g(x)=x|x2-3|,x≥0. 则g(x)=, 当0<x<时,由g′(x)=3-3x2=0得x=1, 所以g(x)在[0,1]上是增函数,在[1,]上是减函数. 当x>时,g′(x)=3x2-3>0,所以g(x)在[,+∞)上是增函数. 所以当x∈[0,]时,函数g(x)的最大值是g(1)=2,最小值是g(0)=g()=0. 从而0<m<1不符合题意,1≤m≤符合题意. 当m>时,在x∈[0,)时,f(x)∈[0,2]; 在x∈[,m]时,f(x)∈[0,f(m)]. 这时f(x)的值域是[0,2]的充要条件是f(m)≤2, 即m3-3m≤2,(m-2)(m+1)2≤0,解得<m≤2. 综上所述,m的取值范围是[1,2]. (3)由(2)知,当1≤m≤2时,f(x)在[0,m]上的最大值为f(1)=2,最小值为f(0)=0, ∴f(x)在[0,m]上的值域为[0,2]. 当m>2时,f(x)在[,m]上单调递增, f(x)max=f(m)=m3-3m, ∴f(x)在[0,m]的值域为[0,m3-3m]. |
举一反三
已知A、B、C为△ABC的三个内角,设f(A,B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2. (1)当f(A,B)取得最小值时,求C的大小; (2)当C=时,记h(A)=f(A,B),试求h(A)的表达式及定义域; (3)在(2)的条件下,是否存在向量,使得函数h(A)的图象按向量平移后得到函数g(A)=2cos2A的图象?若存在,求出向量的坐标;若不存在,请说明理由. |
函数y=ex+e-x(e是自然对数的底数)的值域是______ |
函数f(x)=+lg(2x-1)的定义域为( )A.(,+∞) | B.(,2) | C.(,1) | D.(-∞,2) |
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函数f(x)=log2(2-x)+的定义域是______. |
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