已知函数f（x）=loga（x-x2）（a＞0，a≠1）（1）求函数f（x）的定义域，（2）求函数f（x）的值域，（3）求函数f（x）的单调区间．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=log_a（x-x²）（a＞0，a≠1）
（1）求函数f（x）的定义域，
（2）求函数f（x）的值域，
（3）求函数f（x）的单调区间．

答案

（1）由x-x²＞0得0＜x＜1，
所以函数y=log_a（x-x²）的定义域是（0，1）（2分）

（2）因为0＜x-x²=-(x-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

，
所以，当0＜a＜1时，loga(x-x2)≥loga

1

4

函数y=log_a（x-x²）的值域为[loga

1

4

，+∞)；（5分）
当a＞1时，loga(x-x2)≤loga

1

4

函数y=log_a（x-x²）的值域为(-∞，loga

1

4

]（8分）

（3）当0＜a＜1时，函数y=log_a（x-x²）
在(0，

1

2

]上是减函数，在[

1

2

，1)上是增函数；（10分）
当a＞1时，函数y=log_a（x-x²）
在(0，

1

2

]上是增函数，在[

1

2

，1)上是减函数．（12分）