已知函数f(x)=x2-x+a+1(1)若f(x)≥0对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.(2)求f(x)在区间(-∞,a]上的最小值g(a)的表达式.

已知函数f(x)=x2-x+a+1(1)若f(x)≥0对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.(2)求f(x)在区间(-∞,a]上的最小值g(a)的表达式.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2-x+a+1
(1)若f(x)≥0对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.
(2)求f(x)在区间(-∞,a]上的最小值g(a)的表达式.
答案
(1)∵二次函数f(x)=x2-x+a+1,且f(x)≥0对一切实数x恒成立,
∴△=(-1)2-4(a+1)≤0,即-4a-3≤0,解之得a≥-
3
4

因此,实数a的取值范围是[-
3
4
,+∞).
(2)配方,得f(x)=x2-x+a+1=(x-
1
2
2+a+
3
4

①当a
1
2
时,函数在(-∞,a]上为减函数,所以最小值为f(a)=a2+1=g(a);
②当a
1
2
时,函数在(-∞,
1
2
]上为减函数,在(
1
2
,a]上是增函数
此时,f(x)的最小值为f(
1
2
)=a+
3
4

因此f(x)在区间(-∞,a]上的最小值g(a)的表达式为:
g(a)=.





a2+1       (a≤
1
2
)
a+
3
4
         (a>
1
2
)
举一反三
已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=x2-2x,x∈[2,4]
(1)求f(x),g(x)函数的值域;
(2)函数H(x)=f(x-c)+g(x+c)定义域为[8,10],求c.
(3)函数H(x)=f(x-c)+g(x+c)(c≤0)的最大值为32,求c的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“⊕”:当 a≥b时,a⊕b=a;当a<b时,a⊕b=b2,函数f(x)=(1⊕x)•x(其中“•”仍为通常的乘法),则函数f(x)在[0,2]上的值域为(  )
A.[0,4]B.[1,4]C.[0,8]D.[1,8]
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知f(x+1)的定义域为[-2,3],则f(x)的定义域是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=


x-2
+lg(4-x)
的定义域是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数y=
1


log0.5(4x-3)
的定义域为(  )
A.(
3
4
,1)
B.(
3
4
,∞)
C.(1,+∞)D.(
3
4
,1)∪(1,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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