已知:函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.(1)求f(0)的值.(2)求f(x)的解析式.(3)已知
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已知:函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.(1)求f(0)的值.(2)求f(x)的解析式.(3)已知
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知:函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.
(1)求f(0)的值.
(2)求f(x)的解析式.
(3)已知a∈R,设P:当
0<x<
1
2
时,不等式f(x)+3<2x+a恒成立;Q:当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-ax是单调函数.如果满足P成立的a的集合记为A,满足Q成立的a的集合记为B,求A∩C
R
B(R为全集).
答案
(1)令x=-1,y=1,则由已知f(0)-f(1)=-1(-1+2+1)
∴f(0)=-2
(2)令y=0,则f(x)-f(0)=x(x+1)
又∵f(0)=-2
∴f(x)=x
2
+x-2
(3)不等式f(x)+3<2x+a即x
2
+x-2+3<2x+a
也就是x
2
-x+1<a.由于当
0<x<
1
2
时,
3
4
<
x
2
-x+1<1
,又x
2
-x+1=
(x-
1
2
)
2
+
3
4
<a
恒成立,
故A={a|a≥1},g(x)=x
2
+x-2-ax=x
2
+(1-a)x-2 对称轴x=
a-1
2
,
又g(x)在[-2,2]上是单调函数,故有
a-1
2
≤-2,或
a-1
2
≥2
,
∴B={a|a≤-3,或a≥5},C
R
B={a|-3<a<5}
∴A∩C
R
B={a|1≤a<5}.
举一反三
函数f(x)=
x+1,x≥0
3
|x|,x<0
的图象为( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
|
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若f(x)=a
x
(a>0且a≠1)对于任意实数x、y都有( )
A.f(xy)=f(x)•(y)
B.f(xy)=f(x)+(y)
C.f(x+y)=f(x)f(y)
D.f(x+y)=f(x)+f(y)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增,且满足f(xy)=f(x)+f(y).
(1)证明:
f(
x
y
)=f(x)-f(y)
;
(2)已知f(3)=1,且f(a)>f(a-1)+2,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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在直角坐标系中,如果两点A(a,b),B(-a,-b)函数y=f(x)的图象上,那么称[A,B]为函数f(x)的一组关于原点的中心对称点([A,B]与[B,A]看作一组).函数g(x)=
cos
π
2
x,x≤0
log
4
(x+1),x>0
关于原点的中心对称点的组数为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=
lo
g
1
2
(x+1)
,x∈[0,1)
1-|x-3|
,x∈[1,+∞)
,则方程f(x)=
1
2
的所有解之和为______.
题型:填空题
难度:一般
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