设函数f（x）的定义域为（0，+∞）．对任意的x＞0，y＞0．都有f(xy)=f(x)-f(y)恒成立，且当x＞1时，f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）的定义域为（0，+∞）．对任意的x＞0，y＞0．都有f(

)=f(x)-f(y)恒成立，且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）探究f（x）在（0，+∞）上是否具有单调性；
（3）你能找出符合本题条件的一个函数吗？请将你找到的函数写出来．

答案

（1）由题意，令x=y=1，得f（1）=f（1）-f（1），
所以所求的值为：f（1）=0
（2）设0＜x₁＜x₂，令x=x₁，y=x₂，
则f(

)=f(x2)-f(x1)，∵0＜x₁＜x₂，
∴

＞1，∴f(

)＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
（3）由条件和结论，可找到函数y=log₂x符合题意．

举一反三

设f（x）是定义在R上不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=

，an=f(n)(n∈N*)，则数列{a_n}的前n项和的取值范围是______．

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已知实数a≠0，函数f(x)=

2x+a，x＜1

-x-2a，x≥1

，若f（1-a）=f（1+a），则a的值为（　　）

A．-

B．

C．-

D．

题型：单选题难度：一般| 查看答案

已知函数f （x）的定义域是（0，+∞），满足f（2）=1，且对于定义域内任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）成立，那么f（1）+f（4）=______．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

设函数f（x）=

x2+2 (x≤2)

2x (x＞2)

，若f（x₀）=8，则x₀=______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

对于函数f(x)=

(x＞0)定义域中任意x₁，x₂（x₁≠x₂）有如下结论：
①f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）； ②f（x₁x₂）=f（x₁）f（x₂）；
③

f(x1)-f( x2)

x1-x2

＞0； ④f（

x1+x2

）＜

f(x1)+f( x2)

．
上述结论中正确结论的序号是______．

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