证明:(1)对于任意的x1,x2∈[0,1], 有-1≤x1+x2-1≤1,|x1+x2-1|≤1.(2分) 从而|f(x1)-f(x2)|=|(x12-x1)-(x22-x2)|=|x1-x2||x1+x2-1|≤|x1-x2|. ∴函数f(x)=x2-x,x∈[0,1]是“平缓函数”.(4分) (2)当|x1-x2|<时,由已知得|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|<;(6分) 当|x1-x2|≥时,因为x1,x2∈[0,1],不妨设0≤x1<x2≤1,其中x1-x2≤-, 因为f(0)=f(1),所以: |f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(1)-f(x2)|≤|f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)|≤|x1-0|+|1-x2|=x1-x2+1≤-+1=. 故对于任意的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤成立.(10分) (3)结合函数f(x)=alnx的图象性质及其在点x=m处的切线斜率,估计a的取值范围是闭区间[-m,m].(注:只需直 接给出正确结论)(14分) |