定义区间(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为d=b-a,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如,(1,2)∪[3,5)的长度d=(2-1)
题型:单选题难度:一般来源:朝阳区一模
定义区间(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为d=b-a,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如,(1,2)∪[3,5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3.用[x]表示不超过x的最大整数,记{x}=x-[x],其中x∈R.设f(x)=[x]•{x},g(x)=x-1,若用d1,d2,d3分别表示不等式f(x)>g(x),方程f(x)=g(x),不等式f(x)<g(x)解集区间的长度,则当0≤x≤2011时,有( )A.d1=1,d2=2,d3=2008 | B.d1=1,d2=1,d3=2009 | C.d1=3,d2=5,d3=2003 | D.d1=2,d2=3,d3=2006 |
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答案
f(x)=[x]•{x}=[x]•(x-[x])=[x]x-[x]2,g(x)=x-1 f(x)>g(x)⇒[x]x-[x]2>x-1即([x]-1)x>[x]2-1 当x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为x<1,∴x∈[0,1); 当x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为0<0,∴x∈∅; 当x∈[2,2011]时,[x]-1>0,上式可化为x>[x]+1,∴x∈∅; ∴f(x)>g(x)在0≤x≤2011时的解集为[0,1),故d1=1 f(x)=g(x)⇒[x]x-[x]2=x-1即([x]-1)x=[x]2-1 当x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为x=1,∴x∈∅; 当x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为0=0,∴x∈[1,2); 当x∈[2,2011]时,[x]-1>0,上式可化为x=[x]+1,∴x∈∅; ∴f(x)=g(x)在0≤x≤2011时的解集为[1,2),故d2=1 f(x)<g(x)⇒[x]x-[x]2<x-1即([x]-1)x<[x]2-1 当x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为x>1,∴x∈∅; 当x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为0>0,∴x∈∅; 当x∈[2,2011]时,[x]-1>0,上式可化为x<[x]+1,∴x∈[2,2011]; ∴f(x)<g(x)在0≤x≤2011时的解集为[2,2011],故d3=2009 故选B |
举一反三
设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且f()=f(x)-f(y). (1)求f(1); (2)求证f(xy)=f(x)+f(y); (3)若f(2)=1,解不等式f(x)-f()≤2. |
某地出租车的出租费为3千米以内(含3千米),按起步费收5元,超过3千米按每千米加收1元,超过10千米(不含10千米)每千米再加收0.2元,若将出租车费设为y元,所走千米数设为x千米. (1)写出y=f(x)的表达式; (2)小王要到距某地30千米处办事,乘坐该出租车需车费多少元? |
已知函数f(x),对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)>0,且f(-1)=2 (1)求f(0)的值 (2)求证:函数f(x)为奇函数; (3)判断函数f(x)的单调性,并求函数f(x)在[-2,1]上的最大值和最小值. |
定义在非零实数集上的函数f(x)对任意非零实数x,y恒有f(xy)=f(x)+f(y),当x∈(0,+∞)时,f(x)为增函数, 且f(2)=1. (1)求f(1),f(-1)的值,并求证:f(x)为偶函数; (2)判断并证明f(x)在(-∞,0)的单调性; (3)解不等式:f(x)-f(x-2)>3. |
据监测:服用某抗感冒药后每毫升血液中的含药量f(x)(单位:微克)与时间x(单位:小时)之间满足:f(x)= | x,(0≤x≤4) | 4+log0.5(x-3),(x>4) |
| | .据测定:每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效.则服用这种药一次能维持的有效时间为______小时. |
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