设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且f(xy)=f(x)-f(y).(1)求f(1);(2)求证f(xy)=f(x)+f(y);(3)若f(2

设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且f(xy)=f(x)-f(y).(1)求f(1);(2)求证f(xy)=f(x)+f(y);(3)若f(2

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且f(
x
y
)=f(x)-f(y)

(1)求f(1);
(2)求证f(xy)=f(x)+f(y);
(3)若f(2)=1,解不等式f(x)-f(
1
x-3
)≤2
答案
(1)令x=y≠0,可得f(1)=f(x)-f(x)=0,
∴f(1)=0.
(2)由题意得:f(xy)-f(y)=f(
xy
y
)=f(x)

∴f(xy)=f(x)+f(y).
(3)f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2,∴f(x)-f(
1
x-3
)≤2=f(4)

∴f(x(x-3))≤f(4),
因为:f(1)=0,f(2)=1,于是f(2)>f(1),
而函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,
故函数y=f(x)在区间(0,+∞)上单调增函数,
于是原不等式可化为





x(x-3)≤4
x>0
1
x-3
>0
,∴3<x≤4
∴原不等式的解集为(3,4].
举一反三
某地出租车的出租费为3千米以内(含3千米),按起步费收5元,超过3千米按每千米加收1元,超过10千米(不含10千米)每千米再加收0.2元,若将出租车费设为y元,所走千米数设为x千米.
(1)写出y=f(x)的表达式;
(2)小王要到距某地30千米处办事,乘坐该出租车需车费多少元?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x),对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)>0,且f(-1)=2
(1)求f(0)的值
(2)求证:函数f(x)为奇函数;
(3)判断函数f(x)的单调性,并求函数f(x)在[-2,1]上的最大值和最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
定义在非零实数集上的函数f(x)对任意非零实数x,y恒有f(xy)=f(x)+f(y),当x∈(0,+∞)时,f(x)为增函数,
且f(2)=1.
(1)求f(1),f(-1)的值,并求证:f(x)为偶函数;
(2)判断并证明f(x)在(-∞,0)的单调性;
(3)解不等式:f(x)-f(x-2)>3.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
据监测:服用某抗感冒药后每毫升血液中的含药量f(x)(单位:微克)与时间x(单位:小时)之间满足:f(x)=





x,(0≤x≤4)
4+log0.5(x-3),(x>4)
.据测定:每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效.则服用这种药一次能维持的有效时间为______小时.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
在函数y=





x+2,x≤-1
x2,-1<x<2
2x,x≥2
中,若f(x)=1,则x的值是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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