设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且f(xy)=f(x)-f(y)．（1）求f（1）；（2）求证f（xy）=f（x）+f（y）；（3）若f（2

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且f(

x

y

)=f(x)-f(y)．
（1）求f（1）；
（2）求证f（xy）=f（x）+f（y）；
（3）若f（2）=1，解不等式f(x)-f(

1

x-3

)≤2．

答案

（1）令x=y≠0，可得f（1）=f（x）-f（x）=0，
∴f（1）=0．
（2）由题意得：f(xy)-f(y)=f(

xy

y

)=f(x)，
∴f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2，∴f(x)-f(

1

x-3

)≤2=f(4)，
∴f（x（x-3））≤f（4），
因为：f（1）=0，f（2）=1，于是f（2）＞f（1），
而函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
故函数y=f（x）在区间（0，+∞）上单调增函数，
于是原不等式可化为

x(x-3)≤4 x＞0 1 x-3 ＞0

，∴3＜x≤4
∴原不等式的解集为（3，4]．