已知函数f(x),对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)>0,且f(-1)=2(1)求f(0)的值(2)求证:函数f(x)为
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x),对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)>0,且f(-1)=2 (1)求f(0)的值 (2)求证:函数f(x)为奇函数; (3)判断函数f(x)的单调性,并求函数f(x)在[-2,1]上的最大值和最小值. |
答案
(1)得:f(0+0)=f(0)+f(0),f(0)=0(4分) (2)证明:∵函数f(x)的定义域为R,令y=-x得f(x-x)=f(x)+f(-x)∴f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴函数f(x)是奇函数.(10分) (3)设x1,x2∈R且x1<x2,则x1-x2<0,∵当x<0时,f(x)>0,∴f(x1-x2)>0∴f(x1)+f(-x2)>0,即f(x1)-f(x2)>0∴f(x1)>f(x2) ∴函数f(x)为R上的单调减函数,∴函数f(x)在[-2,1]上的最大值fmax(x)=f(-2)=f(-1)+f(-1)=2+2=4,fmin(x)=f(1)=-f(-1)=-2.(16分) |
举一反三
定义在非零实数集上的函数f(x)对任意非零实数x,y恒有f(xy)=f(x)+f(y),当x∈(0,+∞)时,f(x)为增函数, 且f(2)=1. (1)求f(1),f(-1)的值,并求证:f(x)为偶函数; (2)判断并证明f(x)在(-∞,0)的单调性; (3)解不等式:f(x)-f(x-2)>3. |
据监测:服用某抗感冒药后每毫升血液中的含药量f(x)(单位:微克)与时间x(单位:小时)之间满足:f(x)= | x,(0≤x≤4) | 4+log0.5(x-3),(x>4) |
| | .据测定:每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效.则服用这种药一次能维持的有效时间为______小时. |
在函数y=中,若f(x)=1,则x的值是______. |
已知f(x)=且0<|m|<1,0<|n|<1,mn<0,则使不等式f(m)+f(n)>0成立的m和n还应满足条件______. |
已知函数f(x)满足f(a+b)=f(a)•f(b),且f(x)>0(x∈R)若f(1)=,则f(-2)等于______. |
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