函数f(x)的定义域D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)与f(-1)的值;(2)判断函
题型:解答题难度:一般来源:不详
函数f(x)的定义域D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)与f(-1)的值; (2)判断函数的奇偶性并证明; (3)若x>1时,f(x)>0,求证f(x)在区间(0,+∞)上是增函数; (4)在(3)的条件下,若f(4)=1,求不等式f(3x+1)≤2的解集. |
答案
(1)令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0. 令x1=x2=-1,有f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1)=f(1)=0,解得f(-1)=0. (2)令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x),定义域关于原点对称可得f(x)是偶函数. (3)设x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则>1,f()>0, 则f(x2)=f(•x1)=f()+f(x1)>f(x1), ∴f(x)在区间(0,+∞)上是增函数. (4)f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由f(3x+1)≤2变形为f(3x+1)≤f(16). ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|),在(3)的条件下有f[|3x+1|]≤f(16) ∴|3x+1|≤16且3x+1≠0,解得x∈[-,-)∪(-,5]. |
举一反三
已知函数f(x)= (1)求f(f(1))的值. (2)求f(x)值域. (3)已知f(x)=-10求x. |
某水果产地批发水果,每kg0.4元,100kg为批发起点;100kg至1000kg 9折优惠;1000kg至5000kg,超过1000kg的部分8折优惠;超过5000kg,超过部分7折优惠. (1)请写出销售额y与销售量x之间的函数关系; (2)某人用2000元能批发多少kg这种水果? |
已知函数f(x)满足f(a+b)=f(a)•f(b)(其中a,b∈R),f(1)=3,则=______. |
若f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=2,则++…+=______. |
定义区间(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为d=b-a,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如,(1,2)∪[3,5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3.用[x]表示不超过x的最大整数,记{x}=x-[x],其中x∈R.设f(x)=[x]•{x},g(x)=x-1,若用d1,d2,d3分别表示不等式f(x)>g(x),方程f(x)=g(x),不等式f(x)<g(x)解集区间的长度,则当0≤x≤2011时,有( )A.d1=1,d2=2,d3=2008 | B.d1=1,d2=1,d3=2009 | C.d1=3,d2=5,d3=2003 | D.d1=2,d2=3,d3=2006 |
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