已知函数f(x)对任意的实数x,y都有:f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且x>0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若关于x的不等
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已知函数f(x)对任意的实数x,y都有:f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且x>0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若关于x的不等式f(x2-ax+5a)<2的解集是{x|-3<x<2},求f(2010)的值. |
答案
(1)证明:设-∞<x1<x2<+∞,则x2-x1>0, ∴f(x2-x1)>1 ∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x1)+f(x2-x1)-1>f(x1) ∴f(x)是R上的增函数. (2)设f(b)=2,则f(x2-ax+5a)<f(b) ⇔x2-ax+5a-b<0⇔-3<x<2 ∴⇔ ∴f(1)=2. 在f(x+y)=f(x)+f(y)-1中,令x=n,y=1得f(n+1)=f(n)+f(1)-1 ∴f(n+1)-f(n)=1. ∴数列{f(n)}是首项为2,公差为1的等差数列. ∴f(n)=2+(n-1)×1=n+1 ∴f(2010)=2011. |
举一反三
已知定义域在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0, (1)求f(0). (2)判断函数的奇偶性,并证明之. (3)解不等式f(a2-4)+f(2a+1)<0. |
已知函数f(x)满足:f(m+n)=f(m)f(n),f(1)=2,则+++…+=______. |
已知函数f(x)=,若f(x0)≥1,则x0的取值范围是( )A.[2,+∞) | B.[-1,0] | C.[-1,0]∪[2,+∞) | D.(-∞,-1]∪(0,2] |
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已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y)(x,y>0),f(2)=1. (1)求f(1)的值; (2)求满足f(x)+f(x-3)≤2的x的取值范围. |
某市出租汽车收费标准如下:在3km以内(含3km)路程按起步价8元收费,超过3km以外的路程按2.4元/km收费,试写出收费额关于路程的函数解析式. |
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