已知a＞0，将函数f（x）=12ax2-a的图象向右平移1a个单位再向下平移12a个单位后得到函数g（x）的图象．（Ⅰ）求函数g（x）的表达式；（Ⅱ）当a=12

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知a＞0，将函数f（x）=

1

2

ax²-a的图象向右平移

1

a

个单位再向下平移

1

2a

个单位后得到函数g（x）的图象．
（Ⅰ）求函数g（x）的表达式；
（Ⅱ）当a=

1

2

时，求g（x）在区间[-4，3]上的最大值与最小值；
（Ⅲ）若函数g（x）在[

2

，2]上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．

答案

（Ⅰ）将函数f（x）=

1

2

ax²-a的图象向右平移

1

a

个单位得到函数y=

1

2

a（x-

1

a

^）2-a的图象，
再向下平移

1

2a

个单位后得到函数y=

1

2

a（x-

1

a

）²-a-

1

2a

 的图象． 
∴函数y=g（x）的表达式为g（x）=

1

2

a（x-

1

a

）²-a-

1

2a

             
（Ⅱ）当a=

1

2

时，g（x）=

1

4

（x-2）²-

3

2

 
∴函数g（x）是一个以x=2为对称轴，开口向上的二次函数                           
∵x∈[-4，3]，
∴当x=2时，g（x）_min=-

3

2

                     
当x=-4时，g（x）_max=

15

2

                                       
（Ⅲ）函数g（x）的对称轴为x=

1

a

＞0，开口向上，
①当0＜

1

a

＜

2

，即a＞

2

2

时，函数g（x）在[

2

，2]上为增函数，
∴h（a）=g（

2

）=

1

2

a×（

2

-

1

a

）²-a-

1

2a

=-

2

                                            
②当

2

≤

1

a

≤2，即

1

2

≤a≤

2

2

时，
h（a）=g（

1

a

）=

1

2

a×（

1

a

-

1

a

）²-a-

1

2a

=-a-

1

2a

．              
③当

1

a

＞2，即0＜a＜

1

2

时，函数g（x）在[

2

，2]上为减函数，
∴h（a）=g（2）=

1

2

a×（2-

1

a

）²-a-

1

2a

=a-2                            
综上可知，h（a）=

- 2 ，    a＞ 2 2 -a- 1 2a ，   1 2 ≤a≤ 2 2 a-2，          0＜a＜ 1 2

∵

1

2

≤a≤

2

2

时，h（a）=-a-

1

2a

=-（a+

1

2a

）≤-2

a× 1 2a

=-

2

∴当a=

2

2

时，h（x）_max=-

2

∵0＜a＜

1

2

时，h（a）=a-2＜

1

2

-2=-

3

2

＜-

2

∴当a≥

2

2

时，函数h（a）的最大值为-

2