已知f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对于定义域内任意的x1,x2都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1.(1
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对于定义域内任意的x1,x2都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1. (1)求证f(x)是偶函数; (2)求证f(x)在(0,+∞)上是增函数; (3)若f(a+1)>f(a)+1,求实数a的取值范围. |
答案
(1)由题意知,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2), 令x1=x2=1,代入上式解得f(1)=f(1)+f(1)∴f(1)=0 令x1=x2=-1,代入上式解得f(1)=f(-1)+f(-1)=0∴f(-1)=0, 令x1=-1,x2=x代入上式,∴f(-x)=f(-1•x)=f(-1)+f(x)=f(x), ∴f(x)是偶函数. (2)设x2>x1>0,则f(x2)-f(x1)=f(x1•)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f() ∵x2>x1>0,∴>1,∴f()>0, 即f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (3)∵f(2)=1 ∴f(a+1)>f(a)+1=f(a)+f(2)=f(2a) ∵f(x)是偶函数; ∴f(|x|)=f(-x)=f(x)则f(a+1)>f(2a)即f(|a+1|)>f(|2a|) ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴|a+1|>|2a| 两边平方得a2+2a+1>4a2 即3a2-2a-1<0解得-<a<1 |
举一反三
已知函数f(x)=,若f(-1)=1,f(0)=-2,则函数g(x)=f(x)+x的零点个数为 ______. |
已知函数f(x)=若方程f(x)=a有解,则实数a的取值范围是______. |
为了研究某种药物,用小白鼠进行试验,发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药,则在注射后的3小时内,药物在白鼠血液内的浓度y1与时间t满足关系式:y1=4-at(0<a<,a为常数),若使用口服方式给药,则药物在白鼠血液内的浓度y2与时间t满足关系式:y2=.现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物,且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰. (1)若a=1,求3小时内,该小白鼠何时血液中药物的浓度最高,并求出最大值 (2)若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4,求正数a的取值范围. |
已知函数f(x)对任意的实数x,y都有:f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且x>0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若关于x的不等式f(x2-ax+5a)<2的解集是{x|-3<x<2},求f(2010)的值. |
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