函数f(x)的定义域为{x|x≠0},且满足对于定义域内任意的x1,x2都有等式f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)
题型:解答题难度:一般来源:不详
函数f(x)的定义域为{x|x≠0},且满足对于定义域内任意的x1,x2都有等式f(x1•x2)=f(x1)+f(x2) (1)求f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明; (3)若f(4)=1,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,解关于x的不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3. |
答案
(1)令x1=1,得f(1•x2)=f(1)+f(x2)=f(x2) ∴f(1)=0; (2)令x1=x2=-1,得f(-1•(-1))=f(-1)+f(-1)=f(1)=0 ∴f(-1)=0 因此f(-x)=f(-1•x)=f(-1)+f(x)=f(x) ∴f(x)为偶函数 (3)∵f(4)=1,∴f(16)=f(4•4)=f(4)+f(4)=2 因此,f(64)=f(16•4)=f(16)+f(4)=3 ∴不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3即f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64) ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,且是偶函数 ∴原不等式可化为-64≤(3x+1)(2x-6)≤64 解之得:-≤x≤5 ∵函数定义域为{x|x≠0} ∴(3x+1)(2x-6)≠0,得x≠-且x≠3 综上所述,原不等式的解集为{x|:-≤x≤5且x≠-且x≠3} |
举一反三
已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足条件: ①f(x•y)=f(x)+f(y) ②f(2)=1 ③当x>1时,f(x)>0 (1)求f(1)的值; (2)讨论函数f(x)的单调性; (3)求满足f(x)+f(2x)≤2的x的取值范围. |
函数f(x)对任意实数x,y满足f(x)+f(y)=f(x+y),且f(2)=4,则f(0)+f(-2)=______. |
设f(x)=,则不等式f(x)>1的解集为 ______. |
函数f(x)的定义域为R*,若对于定义域内任意的x,y均有f(xy)=f(x)+f(y),又已知f(2)=a,f(3)=b,用a,b表示f(72)的值,f(72)=______. |
已知a,b∈N+,f(a+b)=f(a)•f(b),f(1)=2,+ +…++=______. |
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