已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足条件:①f(x•y)=f(x)+f(y) ②f(2)=1 ③当x>1时,f(x)>0(1)求f(1)的
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足条件: ①f(x•y)=f(x)+f(y) ②f(2)=1 ③当x>1时,f(x)>0 (1)求f(1)的值; (2)讨论函数f(x)的单调性; (3)求满足f(x)+f(2x)≤2的x的取值范围. |
答案
(1)在①中令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1)故 f(1)=0 …(2分) (2)在①中令y=,得f(1)=f(x)+f()=0 即f()=-f(x), 函数f(x)在(0,+∞)上的单调递增,理由如下: 任取x1,x2,设x2>x1>0, ∴>1 ∵当x>1时,f(x)>0 ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f()=f()>0 …(6分) f(x2)>f(x1), ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,…(8分) (3)由f(2)=1,得2f(2)=2=f(2)+f(2)=f(4)…(9分) ∴f(x)+f(2x)≤2可化为
解得0<x≤.…(12分) |
举一反三
函数f(x)对任意实数x,y满足f(x)+f(y)=f(x+y),且f(2)=4,则f(0)+f(-2)=______. |
设f(x)=,则不等式f(x)>1的解集为 ______. |
函数f(x)的定义域为R*,若对于定义域内任意的x,y均有f(xy)=f(x)+f(y),又已知f(2)=a,f(3)=b,用a,b表示f(72)的值,f(72)=______. |
已知a,b∈N+,f(a+b)=f(a)•f(b),f(1)=2,+ +…++=______. |
给出如下3个等式:f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y),则函数①f(x)=x2②f(x)=3x③f(x)=④f(x)=0 都满足上述3个等式的是( )A.f(x)=x2 | B.f(x)=3x | C.f(x)= | D.f(x)=0 |
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