函数f(x)对任意的实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0,f(x)<0.(1)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由;(2)证明:函数f(x
题型:解答题难度:一般来源:不详
函数f(x)对任意的实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0,f(x)<0. (1)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由; (2)证明:函数f(x)在R上是减函数; (3)若y=f(ax2-a2x)-f[(a+1)(x-1)]在x∈(0,2)上有零点,求a的范围. |
答案
(1)∵f(x+y)=f(x)+f(y), 令y=x=0 则f(0)=f(0)+f(0) ∴f(0)=0 令y=-x 则f(x)+f(-x)=f(0)=0 ∴f(x)为奇函数…(3分) 证明:(2)任意的x1,x2∈R,x1<x2,设x2=x1+t,t>0 f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+t)=f(x1)-f(x1)-f(t)=-f(t)>0 ∴f(x1)>f(x2), 故f(x)在R上是减函数…(2分) (3)∵y=f(ax2-a2x)-f[(a+1)(x-1)]=0 ∴f(ax2-a2x)=f[(a+1)(x-1)] 即ax2-a2x=(a+1)(x-1) ∴ax2-(a2+a+1)x+a+1=(ax-1)[x-(a+1)]=0…(1分) ①a=0时,x=1∈(0,2)符合…(1分) ②a≠0时,则∈(0,2)或a+1∈(0,2) ∴a≥或-1<a<1且a≠0…(2分) 综上a∈(-1,+∞)…(1分) |
举一反三
已知函数f(x)定义在区间(-1,1)上,f()=-1,对任意x,y∈(-1,1),恒有f(x)+f(y)=f()成立,又数列{an}满足a1=,an+1=. (I)在(-1,1)内求一个实数t,使得f(t)=2f(); (II)求证:数列{f(an)}是等比数列,并求f(an)的表达式; (III)设cn=bn+2,bn=+++…+,是否存在m∈N*,使得对任意n∈N*,cn<lom-log2m恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由. |
已知f(x)=. (1)求f(x)+f(1-x)及f()+f()+…+f()=? (2)是否存在正整数a,使>n2对一切n∈N都成立. |
已知定义域为R,函数f(x)满足f(a+b)=f(a)•f(b)(a,b∈R),且f(x)>0,若f(1)=,则f(-2)等于( ) |
定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:①对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f();②f(x)在(-1,1)上是单调递增函数,f()=1. (1)求f(0)的值; (2)证明:f(x)为奇函数; (3)解不等式f(2x-1)<1. |
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