设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2008，且对任意x∈R，满足f（x+2）-f（x）≤3•2x，f（x+6）-f（x）≥63•2x，则f（2008）=

题型：填空题难度：一般来源：舟山模拟

设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2008，且对任意x∈R，满足f（x+2）-f（x）≤3•2^x，f（x+6）-f（x）≥63•2^x，则f（2008）=

22008+2007

.

．

答案

由题意f（2008）≤f（2006）+3×2²⁰⁰⁶≤f（2004）+3×（2²⁰⁰⁶+2²⁰⁰⁴）≤…≤f（0）+3×（2²⁰⁰⁶+2²⁰⁰⁴+…+2 ²+2 ⁰）=2008+3×

1-41004

1-4

=2007+2²⁰⁰⁸①
f（2008）≥f（2002）+63•2²⁰⁰²，≥f（1996）+63×（2²⁰⁰²+2¹⁹⁹⁶）≥f（1990）+63（2²⁰⁰²+2¹⁹⁹⁶+2¹⁹⁹⁰）≥…≥f（4）+63（2²⁰⁰²+2¹⁹⁹⁶+2¹⁹⁹⁰+…+2⁴）
=f（4）+63×

24×(1-(26)334)

1-64

=f（4）+2²⁰⁰⁸-2⁴  ②
又已知，又由f（x+2）-f（x）≤3•2 ^x，f（x+6）-f（x）≥63•2 ^x可得f（x+6）-f（x+2）≥60•2 ^x=15•2 ^x+2，即f（x+4）-f（x）≥15•2 ^x，
再由f（x+2）-f（x）≤3•2^x，得f（x+4）-f（x+2）≤3•2 ^x+2，两者相加得，得f（x+4）-f（x）≤15•2^x，所以f（x+4）-f（x）=15•2^x，
∴f（4）-f（0）=15•2⁰=15
∴f（4）=f（0）+15=2008+15=2023，代入②
解得f（2008）≥2007+2²⁰⁰⁸③
由①③得（2008）=2007+2²⁰⁰⁸
故答案为：2007+2²⁰⁰⁸