已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),则下列各式恒成立的是______.①f(0)=0;②f(3)=3f(1);③f(12)=12
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已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),则下列各式恒成立的是______.①f(0)=0;②f(3)=3f(1);③f(12)=12
题型:填空题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),则下列各式恒成立的是______.
①f(0)=0;
②f(3)=3f(1);
③f(
1
2
)=
1
2
f(1);
④f(-x)f(x)<0.
答案
令x=y=0得f(0)=2f(0),所以f(0)=0,所以①恒成立;
令x=2,y=1得f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1),所以②恒成立;
令x=y=
1
2
得f(1)=2f(
1
2
),所以f(
1
2
)=
1
2
f(1),所以③恒成立;
令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),所以f(-x)f(x)=-[f(x)]
2
≤0,所以④不恒成立.
故答案为:①②③
举一反三
已知函数
f(x)=
-
x
2
+6x+
e
2
-5e-2,x∈(-∞,e]
x-2lnx,,x∈(e,+∞)
,若f(6-a
2
)>f(a)则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(3,+∞)
C.(-3,2)
D.(-2,3)
题型:单选题
难度:简单
|
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函数f(x)=
sin(
πx
2
),-1<x<0
e
x-1
,x≥0
若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为( )
A.1
B.-
2
2
C.1,-
2
2
D.1,
2
2
题型:单选题
难度:一般
|
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已知
f(x)=
(3a-1)x+4a,x≤1
log
a
x,x>1
是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是( )
A.(0,1)
B.
(0,
1
3
)
C.
[
1
7
,
1
3
)
D.
[
1
7
,1)
题型:单选题
难度:简单
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函数
f(x)=
x
2
+2x-3,x≤0
-2+lnx,x>0
的零点个数为( )
A.3
B.2
C.1
D.0
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(n)=n
2
cos(nπ),且a
n
=f(n)+f(n+1),则a
1
+a
2
+a
3
+…+a
100
=( )
A.0
B.-100
C.100
D.10200
题型:单选题
难度:一般
|
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