设函数y=f（x）是定义在R上的增函数，且f（x）≠0，对于任意x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）（1）求证：f（x）＞0；（2）若f

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数y=f（x）是定义在R上的增函数，且f（x）≠0，对于任意x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）
（1）求证：f（x）＞0；
（2）若f（1）=2，解不等式f（3x）＞4f（x）

答案

（1）证明：令x1=x2=

x

2

，
则f(x)=f(

x

2

)•f(

x

2

)=f2(

x

2

)，
∵f(

x

2

)≠0，
∴f2(

x

2

)＞0，则f（x）＞0．

（2）∵f（1）=2，
∴2f（x）=f（1）•f（x）=f（1+x），4f（x）=2•2f（x）=f（1）•f（x+1）=f（x+2）
∴f（3x）＞4f（x）可以变为f（3x）＞f（2+x）
又f（x）在定义域R上是增函数，
∴3x＞2+x
∴x＞1，
故不等式f（3x）＞4f（x）的解集为{x|x＞1}