定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0当x>0,f(x)>1且对于任意的a,b∈R有,f(a+b)=f(a)f(b),(1)证明:f(0)=1.(2)证明:
题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0当x>0,f(x)>1且对于任意的a,b∈R有,f(a+b)=f(a)f(b),(1)证明:f(0)=1.(2)证明:对于任意的x∈R,恒有f(x)>0. |
答案
证明:(1)因为f(a+b)=f(a)f(b), 令式中a=b=0得:f(0)=f(0)f(0),因f(0)≠0, 所以等式两同时消去f(0),得:f(0)=1. (2)令f(a+b)=f(a)f(b)中a=b=,于是f(x)=f(0.5x)f(0.5x)=(f(0.5x))2≥0. 因为f(0)≠0,所以对于任意的x∈R,恒有f(x)>0. |
举一反三
设函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),求证: (1)f(0)=0; (2)f(3)=3f(1); (3)f()=f(1). |
在R+上定义一种运算“*”:对于a、b∈R+,有a*b=,则方程2*x=8的解是x=______. |
(2001•北京)若f(x)=ax(a>0且a≠1)对于任意实数x、y都有( )A.f(xy)=f(x)•(y) | B.f(xy)=f(x)+(y) | C.f(x+y)=f(x)f(y) | D.f(x+y)=f(x)+f(y) |
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已知函数f(x)=|x+1|+|x-1|(x∈R). (1)证明:f(x)函数是偶函数; (2)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段函数,然后在给定的坐标系中画出函数图象; (3)写出函数的值域. |
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