已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(﹣1)=﹣2.(1)求f(0);(2)求证f(x)为奇函数
题型:解答题难度:一般来源:北京月考题
已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(﹣1)=﹣2. (1)求f(0); (2)求证f(x)为奇函数; (3)f(x)在[﹣2,1]上的值域. |
答案
解:(1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0 (2)令y=﹣x,得f(﹣x+x)=f(x)+f(﹣x) 即f(0)=f(x)+f(﹣x) ∴f(x)+f(﹣x)=0, 即f(﹣x)=﹣f(x) 因此f(x)为R上的奇函数, (3)设x1,x2∈R,且x1<x2,则x2﹣x1>0, ∵当x>0时,f(x)>0 ∴f(x2﹣x1)>0 又∵f(x2)=f[(x2﹣x1)+x1]=f(x2﹣x1)+f(x1) ∴f(x2)﹣f(x1)>0,可得f(x1)<f(x2) ∴f(x)为奇函数 ∴f(1)=﹣f(﹣1)=2,f(﹣2)=2f(﹣1)=﹣4 ∵f(x)为R上的增函数, ∴当﹣2≤x≤1时,f(﹣2)≤f(x)≤f(1), 即函数在[﹣2,1]上的值域为[﹣4,2] |
举一反三
对于定义域为[0,1]的函数f(x),若同时满足以下三个条件: ①f(1)=1; ② x∈[0,1],总有f(x)≥0; ③当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2),则称函数f(x)为理想函数. (Ⅰ)若函数f(x)为理想函数,求f(0). (Ⅱ)判断函数g(x)=2x﹣1(x∈[0,1])和函数 (x∈[0,1])是否为理想函数?若是,予以证明;若不是,说明理由. (Ⅲ)设函数f(x)为理想函数,若 x0∈[0,1],使f(x0)∈[0,1],且f[f(x0)]=x0,求证:f(x0)=x0. |
已知函数 的值为( ). |
下面四个函数中,对于x≠y,满足f( )< [f(x)+f(y)]的函数f(x)可以是 |
[ ] |
A.㏑x B.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818021945-15482.png) C.3x D.3x |
已知函数 ,则f[f(2010)]=( ). |
定义在R上的函数 为奇函数.给出下列结论: ①函数f(x)的最小正周期是 ; ②函数f(x)的图象关于点( ,0)对称; ③函数f(x)的图象关于直线 对称; ④函数f(x)的最大值为 . 其中所有正确结论的序号是( ). |
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