已知sin(2α+β)=3sinβ,设tanα=x,tanβ=y,设y=f(x)(Ⅰ)求证:tan(α+β)=2tanα; (Ⅱ)求f(x)的解析式;(Ⅲ)
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已知sin(2α+β)=3sinβ,设tanα=x,tanβ=y,设y=f(x)(Ⅰ)求证:tan(α+β)=2tanα; (Ⅱ)求f(x)的解析式;(Ⅲ)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知sin(2α+β)=3sinβ,设tanα=x,tanβ=y,设y=f(x)
(Ⅰ)求证:tan(α+β)=2tanα; (Ⅱ)求f(x)的解析式;
(Ⅲ)已知数列a
n
满足
a
n
=
1
f(n)
,问数列是否存在最小项,若有求出此项,若无说明理由?
答案
(Ⅰ)∵sin(2α+β)=3sinβ,∴sin(α+β+α)=3sin(α+β-α),
∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα,∴sin(α+β)cosα=2 cos(α+β)sinα,
∴tan(α+β)=2tanα.
(Ⅱ) 设tanα=x,tanβ=y,由(Ⅰ)可得
x+y
1-xy
=2x,∴y=
x
1+2
x
2
,即 f(x)=
x
1+2
x
2
.
(Ⅲ)∵数列a
n
满足
a
n
=
1
f(n)
,∴a
n
=
1+2
n
2
n
=
1
n
+2n≥2
2
,当且仅当
1
n
=2n,即 n=
2
2
时取等号.
由于n∈N
+
,故数列不存在最小项.
举一反三
已知
f(
1
x
)=
1
1+x
,那么函数f(x)的解析式及定义域正确的是( )
A.
f(x)=
x
1+x
(x≠-1)
B.
f(x)=
x
1+x
(x≠-1且x≠0)
C.
f(x)=
1
1+x
D.f(x)=1+x
题型:单选题
难度:简单
|
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已知f(x)+2f(
1
x
)=3x,求f(x)的解析式______.
题型:填空题
难度:一般
|
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(1)已知f(x-2)=3x-5,求f(x);
(2)已知f(1-cos x)=sin
2
x,求f(x);
(3)若f{f[f(x)]}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知二次函数y=g(x)的图象经过原点O(0,0)、点P
1
(m,0)和点P
2
(m+1,m+1)(m≠0,且m≠1),求函数y=g(x)的解析式.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+1(x∈R),a,b∈R.函数f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为y=x+4.
(I)求函数f(x)的解析式;
(II)若函数f(x)在区间
(k,k+
2
3
)
上是单调函数,求实数k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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