已知定义在R上的函数f（x）=x3-3x，（Ⅰ）若函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，求函数g（x）的解析式（Ⅱ）过点A（1，m）（m≠-2）可作曲
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知定义在R上的函数f（x）=x3-3x，（Ⅰ）若函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，求函数g（x）的解析式
（Ⅱ）过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求m的取值范围． |
答案
（Ⅰ）函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，
函数f（x）=x3-3x，所以g（x）=-x3+3x （4分）
（Ⅱ）f′（x）=3（x2-1），设切点为T（x0，y0），
则切线的斜率为k=3-3==，…6分
整理得2x3-3x2+m+3=0，依题意，方程有3个根． …（7分）
设h（x）=2x3-3x2+m+3，则h′（x）=6x2-6x=6x（x-1）．
令h"（x）=0，得x1=0，x2=1，则h（x）在区间（-∞，0），[1，+∞）上单调递增，
在区间（0，1）上单调递减．…（11分）
因此，，解得-3＜m＜-2．
所以m的取值范围为（-3，-2）．…（12分） |
举一反三
（1）已知x+x-1=3， 求x-x-的值．
（2）函数f(-1) =x+-，求满足f（a）=2的a的值． |
| f（2x-1）=2x+1，则函数f（x）的表达式为______． |
| 已知二次函数y=ax2+2x+c（c＞0）的导函数的图象与直线y=2x平行，若二次函数图上的动点P到直线y=2x的最小距离为，则二次函数的解析式为______． |
如果函数f（x）的定义域为R，对于m，n∈R，恒有f（m+n）=f（m）+f（n）-6，且f（-1）是不大于5的正整数，当x＞-1时，f（x）＞0．
那么具有这种性质的函数f（x）=______．（注：填上你认为正确的一个函数即可） |
已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是2，其图象经过点M（，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若tanα=3，且函数g（x）=f（x+α）+f（x+α-）（x∈R）的图象关于直线x=x0对称，求tanx0的值． |
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