已知定义在R上的偶函数f(x)的最小值为1,当x∈[0,+∞)时,f(x)=aex.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求最大的整数m(m>1),使得存在t∈R

已知定义在R上的偶函数f(x)的最小值为1,当x∈[0,+∞)时,f(x)=aex.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求最大的整数m(m>1),使得存在t∈R

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义在R上的偶函数f(x)的最小值为1,当x∈[0,+∞)时,f(x)=aex
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求最大的整数m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤ex.(注:e为自然对数的底数)
答案
(Ⅰ)因为f(x)=aex为单调函数,故f(0)=1,得a=1,…(2分)
当x<0时,-x>0,则f(x)=f(-x)=3e-x
综上:f(x)=





ex,x≥0
e-x,x<0
;           …(5分)
(Ⅱ)因为任意x∈[1,m],都有f(x+t)≤ex
故f(1+t)≤e且f(m+t)≤em
当1+t≥0时,e1+t≤e,从而1+t≤1,
∴-1≤t≤0
当1+t<0时,e-(1+t)≤e,从而-(1+t)≤1,
∴-2≤t<-1
综上-2≤t≤0∵m≥2,故m+t>0
故f(m+t)≤em得:em+t≤em
即存在t∈[-2,0],满足et
em
em

em
em
≥{et}min=e-2
,即em-e3m≤0
令g(x)=ex-e3x,x∈[2,+∞),则g′(x)=ex-e3
当x∈(2,3)时,g"(x)<0,g(x)单调递减
当x∈(3,+∞)时,g"(x)>0,g(x)单调递增
又g(3)=-2e3<0,g(2)=-e3<0,g(4)=e3(e-4)<0,g(5)=e3(e2-4)>0
由此可见,方程g(x)=0在区间[2,+∞)上有唯一解m0∈(4,5),
且当x∈[2,m0]时g(x)≤0,当x∈[m0,+∞)时g(x)≥0
∵m∈Z,故mmax=4,此时t=-2.…(12分)
下面证明:f(x-2)=e|x-2|≤ex对任意x∈[1,4]恒成立
①当x∈[1,2]时,即e2-x≤ex,等价于e≤xex
∵x∈[1,2],
∴ex≥e,x≥1,xex≥e
②当x∈[2,4]时,即ex-2≤ex,等价于{ex-3-x}max≤0
令h(x)=ex-3-x,则h"(x)=ex-3-1
∴h(x)在(2,3)上递减,在(3,4)上递增
∴hmax=max{h(2),h(4)}
h(2)=
1
e
-2<0,h(4)=e-4<0

综上所述,f(x-2)≤ex对任意x∈[1,4]恒成立.…(15分)
举一反三
已知


a
=(1-cosx,2sin
x
2
),


b
=(1+cosx,2cos
x
2
)
,设f(x)=2+sinx-
1
4
|


a
-


b
|2

(1)若函数f(x)和函数g(x)的图象关于原点对称,求函数g(x)的解析式;
(2)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-
π
2
π
2
]
上是增函数,求实数λ的取值范围.
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设f(x+2)=2x+3,则f(x)=______.
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已知函数y=x2+x与y=g(x)的图象关于点(-2,3)对称,则g(x)的解析式为______.
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已知函数f(x)=
x2
ax+b
(a,b为常数)且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设k>1,解关于x的不等式;f(x)<
(k+1)x-k
2-x
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已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f (x)=2f (
1
x


x
-1,则f(x)=______.
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